Question

Помогите пожалуйста срочно! АЛГЕБРА.

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ x^4-5x^2+4=0\ \ ,\ \ t=x^2\geq 0\ \ ,\\\\t^2-5t+4=0\ \ ,\ \ t_1=1\ ,\ t_2=4\ \ \ (teorema\ Vieta),\\\\x^2=1\ \ \to \ \ x_{1,2}=\pm 1\\\\x^2=4\ \ \to \ \ x_{3,4}=\pm 4\\\\\\2)\ \ x^4-7x^2-18=0\ \ ,\ \ t=x^2\geq 0\ \ ,\\\\t^2-7t-18=0\ \ ,\ \ t_1=-2<0\ ,\ t_2=9>0\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\x^2=9\ \ \to \ \ x_{1,2}=\pm 3\\\\\\3)\ \ x^4-8x^2-9=0\ \ ,\ \ \ t=x^2\geq 0\\\\t^2-8t-9=0\ \ ,\ \ t_1=-1<0\ ,\ t_2=9>0\\\\x^2=9\ \ \to \ \ x_{1,2}=\pm 3$

$4)\ \ x^4+26x^2+25=0\ \ ,\ \ t=x^2\geq 0\\\\t^2+26t+25=0\ \ ,\ \ t_1=-1<0\ ,\ t_2=-25<0\\\\x\in \varnothing \\\\\\5)\ \ 9x^4-19x^2+2=0\ \ ,\ \ t=x^2\geq 0\ ,\\\\9t^2-19t+2=0\ \ ,\ \ D=289=17^2\ \ ,\ \ t_1=\dfrac{1}{9}\ \ ,\ \ t_2=2\\\\x^2=\dfrac{1}{9}\ \ \ \to \ \ x_{1,2}=\pm \dfrac{1}{3}\\\\x^2=2\ \ \ \to \ \ x_{3,4}=\pm \sqrt2}$

$6)\ \ 5t^4+3t^2-2=0\ \ ,\ \ z=t^2\geq 0\ ,\\\\5z^2+3z-2=0\ \ ,\ \ D=49\ \ ,\ \ z_1=-1<0\ \ ,\ \ z_{2}=\dfrac{4}{10}>0\ ,\\\\t^2=\dfrac{4}{10}\ \ \ \to \ \ \ t_{1,2}=\pm \dfrac{2}{\sqrt{10}}\ \ ,\ \ t_{1,2}=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Answer 2

Ответ:

Рівняння типу $ax^{4}+bx^{2} + c = 0$ - це біквадратне рівняння і, щоб його розв'язати, треба $x^{4}$ перетворити в $(x^{2})^2$, потім треба скористатися методом внесення нової змінної, тобто $x^{2} = z$, тоді вийде звичайне квадратне рівняння $az^{2} +bz+ c = 0$, знайошовши корені рівняння або через дискримінант, або через теорему Вієта, слід пам'ятати, що ми ж прирівнювали $x^{2} = z$, тому не треба поспішати записувати корені в відповідь, а наприклад, якщо $z = 4$, то підставляємо: $x^{2} = 4; x = б\sqrt{4}; x =б2$ - оце й буде відповіддю.

58. Розв'яжіть рівняння:

$1)x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0\\(x^{2} )^{2} - 5x^{2} + 4 = 0\\z^{2} - 5z + 4 = 0\\D = (-5)^{2} - 4*1*4 = 25 - 16 = 9\\z_{1/2} = \frac{5б3}{2}\\z_{1} =\frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1\\z_{2} = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4\\Zamena:\\x^{2} = 1\\x = б\sqrt{1}\\x =б1 \\\\x^{2} = 4\\x =б\sqrt{4}\\x=б2$

$2) x^{4} - 7x^{2} - 18 = 0\\(x^{2})^{2} - 7x^{2} - 18 = 0\\z^{2} - 7z - 18 = 0\\D = (-7)^{2} - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 =121\\z_{1/2}= \frac{7б11}{2}\\z_{1} = \frac{7-11}{2} = -\frac{4}{2} = -2\\z_{2} = \frac{7+11}{2} = \frac{18}{2} = 9\\Zamena:\\x^{2} = -2\\x \in \varnothing\\\\x^{2} = 9\\x = б\sqrt{9}\\x = б3$

$3) x^{4} + 8x^{2} - 9 = 0\\(x^{2} )^{2} + 8x^{2} - 9 = 0\\z^{2} + 8z - 9 = 0\\D = 8^{2} - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100\\z_{1/2} = \frac{-8б10}{2}\\z_{1} = \frac{-8-10}{2} = \frac{-18}{2} = -9\\z_{2} = \frac{-8+10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \\Zamena:\\x^{2} = -9\\x \in \varnothing\\\\x^{2} = 1\\x = б\sqrt{1}\\x = б1$

$4) x^{4} + 26x^{2} + 25 = 0\\(x^{2})^{2} + 26x^{2} + 25 = 0\\z^{2} + 26z + 25 = 0\\D = 26^{2} - 4 * 1 * 25 = 676 - 100 = 576\\z_{1/2} = \frac{-26б24}{2} \\z_{1} = \frac{-26-24}{2} = -\frac{50}{2} = -25\\z_{2} = \frac{-26+24}{2} = -\frac{2}{2} = -1\\Zamena:\\x^{2} = -25\\x \in \varnothing\\\\x^{2} = -1 \\x \in \varnothing$

$5) 9x^{4} -19x^{2} + 2 = 0\\9(x^{2})^{2} - 19x^{2} + 2 = 0\\9z - 19z + 2 = 0\\D = (-19)^{2} - 4 * 9 * 2 = 361 - 72 = 289\\z_{1/2} = \frac{19б17}{18} \\z_{1}= \frac{19-17}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\\z_{2} = \frac{19+17}{18} = \frac{36}{18} = 2\\Zamena:\\x^{2} = \frac{1}{9}\\x = б\sqrt{\frac{1}{9} }\\x = б\sqrt{\frac{1}{3} } \\\\x^{2} = 2\\x =б\sqrt{2}$

$6) 5t^{4} + 3t^{2} - 2 = 0\\5(t^2)^2 + 3t^2 - 2 = 0\\5z^2 + 3z - 2 = 0\\D = 3^2 - 4 * 5 * (-2) = 9 + 40 = 49\\z_{1/2} = \frac{-3б7}{10}\\z_{1} = \frac{-3-7}{10} = -\frac{10}{10} = -1\\z_{2} = \frac{-3+7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\\Zamena:\\x^{2} = -1\\x \in \varnothing\\\\x^{2} = \frac{2}{5}\\x = б\sqrt{\frac{2}{5} }\\x = б\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} }(*\sqrt{5})\\x = б\frac{\sqrt{10} }{5}$