Question

3. Вычислить площадь фигуры (предварительно сделав рисунок),
ограниченной линиями:


а) у=х^2, у=3х

Answer 1

Ответ:

$S = 4{,}5.$

Объяснение:

Обозначим $y=x^2$ за $f_1(x)$, а $y=3x$ за $f_2(x)$. Найдём сначала точки пересечения этих кривых:

$f_1(x)=f_2(x);\\x^2=3x;\\x^2-3x=0;\\x(x-3)=0.$

Получается, что это точки $x_1=0$ и $x_2 = 3$.

По рисунку видно, что $f_2(x)$ на отрезке $x \in [0;\ 3]$ всегда больше, чем $f_1(x)$. Отметим также, что эти функции на этом интервале больше или равны нулю, то есть для нахождения площади фигуры не требуется разбивать область интегрирования на несколько отрезков. Отсюда следует, что площадь заключённой между этими кривыми фигуры будет равна разнице площадей фигур под графиками $f_2(x)$ и $f_1(x)$ на отрезке $[0;\ 3]$, то есть разнице интегралов от $f_2(x)$ и $f_1(x)$ на отрезке $[0;\ 3]$.

Найдём сначала первый интеграл:

$\int_0^3 3x\,\text dx = \left( \frac32 x^2 \right)|_0^3 = \frac{3^3}{2} - \frac{0}{2} = \frac{27}{2}.$

Теперь второй:

$\int_0^3 x^2\,\text dx = \left( \frac13 x^3 \right) |_0^3 = 3^2 - \frac{0}{3} = 9.$

Найдём далее их разность, вычтем второй интеграл из первого:

$\frac{27}2 - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$

Это и есть площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$ и $y=3x$.