Question

Найдите все простые p такие, что число 2p^2 + 1 простое.

Answer 1

Для начала заметим, что все простые числа, большие 3, имеют вид $6k\pm 1$. Поэтому для $p\geq 5$ верно $p^2\equiv 1 \mod 6$, а потому $2p^2+1\equiv 3 \mod 6$, то есть $3\mid 2p^2+1,\;\forall p\geq 5, \;p\in \mathbb{P}$. Следовательно, осталось проверить $p=2$ и $p=3$. Подходит только $p=3$.

Answer 2

1) p=2⇒2p²+1=9 - составное.

2) p=3⇒2p²+1=19 - простое,

3) p> 3 и  простое ⇒ p=3k±1⇒2p²+1=18k²±12k+3=3(6k²±4k+1) - составное.

Ответ: 3