Question

Доказать, что при каждом n ∈ N (принадлежность) верно равенство:

Answer 1

Воспользуемся формулой

$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}),$

которая проверяется непосредственно.

В частном случае, когда k=2, получаем формулу  $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}).$ Поэтому данная нам сумма может быть записана в виде

$\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$