Question

Помогите, пожалуйста.
При каких значениях параметра a уравнение
ax^2-(a+1)x+2a-1=0
имеет два корня ?

Answer 1

$ax^2-(a+1)x+2a-1=0$

Нам дано уравнение вида ax² + bx + c = 0 (квадратное уравнение). Оно имеет 2 разных корня только в том случае, когда дискриминант (D = b² - 4ac) имеет значение больше нуля.

Попробуем рассчитать дискриминант данного уравнения:

$a=a,\ b=-(a+1),\ c=2a-1\\\\D=b^2-4ac=(-(a+1))^2-4a\cdot(2a-1)=a^2+2a+1-8a^2+4a=-7a^2+6a+1$

Выходит, что -7a^2 + 6a + 1 должно быть больше нуля:

$-7a^2+6a+1>0\ |\ (-1)\\\\\\7a^2-6a-1<0\\\\\\7a^2-6a-1=0\\\\\\D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot7\cdot(-1)=36+28=64=8^2\\\\\\a_1=\dfrac{6-8}{14}=\dfrac{-2}{14}=-\dfrac{1}{7}\\\\\\a_2=\dfrac{6+8}{14}=\dfrac{14}{14}=1$

При a = 2, получим: 7 * 2^2 - 6 * 2 - 1 = 7 * 4 - 12 - 1 = 28 - 12 - 1 = 15 > 0, тогда методом интервалов:

++++++++++++++[-1/7]-------------------[1]+++++++++++++>

Так как у нас знак неравенства "<", то берём все отрицательные значения:

При a ∈ (- 1/7; 1) уравнение имеет два корня.