Question

100 БАЛЛОВ. Взяли два натуральных числа. Их сложили, вычли из большего меньшее, перемножили и разделили большее на меньшее. Далее все полученные результаты сложили и получили число 1225. Найдите все пары данных чисел.

Answer 1

Ответ:

34 и 34, 150 и 6, 196 и 4

Пошаговое объяснение:

Пусть даны числа a и b, a ≥ b. Тогда

$a+b+a-b+ab+\dfrac{a}{b}=1225|\cdot b\\2ab+ab^2+a=1225b\\a(2b+b^2+1)=1225b\\a(b+1)^2=1225b$

Если b = 1, то 4a = 1225 ⇒ a = 306,25, что невозможно.

Если b > 1, то числа b и b + 1 взаимно просты, а следовательно, числа b и (b + 1)² не имеют общих делителей. Значит, (b + 1)² состоит из делителей числа 1225 = 5² · 7².

Если (b + 1)² = 5² ⇒ b = 4 ⇒ a·5² = 1225·4 ⇒ a = 196.

Если (b + 1)² = 7² ⇒ b = 6 ⇒ a = 150.

Если (b + 1)² = 5² · 7² ⇒ b = 34 ⇒ a = 34.

Возможные пары: (34; 34), (150; 6), (196; 4)