Question

При каких значениях параметра "а" оператор имеет тривиальное ядро, если его матрица в некотором базисе имеет вид:

Answer 1

Подействуем оператором на некоторый вектор $x$ из пространства. Новый вектор $x'$ запишется как $x'=Ax$, где $A$ — матрица оператора. Тривиальность ядра равносильна тому, что решение системы $Ax=0$ единственно (то есть только $x=0$). Это говорит о линейной независимости строк матрицы и, следовательно, о ненулевом детерминанте.

Имеем: $\det\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&1&3\\0&a+2&-a\end{array}\right) = -a-2(a+2)-(3(a+2)-4a) = -2a-10$. Поэтому при $a\neq -5$ детерминант ненулевой, а ядро тривиально.