Question

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Answer 1

Ответ:

$x^2+6x+y^2=0\ \ \to \ \ (x+3)^2+y^2=9\ \ ,\ \ okryzn.\ C(-3,0)\ ,\ R=3\\\\x^2+12x+y^2=0\ \ \to \ \ (x+6)^2+y^2=36\ \ ,\ \ \ okryzn.\ C(-6,0)\ ,\ R=6\\\\y=-\dfrac{x}{\sqrt3}\ \ ,\\\\x=r\, cos\varphi \ ,\ y=r\, sin\varphi \ \ \to \ \ r\, sin\varphi =-\dfrac{r\, cos\varphi }{\sqrt3}\ \ ,\ \ tg\varphi =-\dfrac{1}{\sqrt3}\ ,\ \ \varphi =\dfrac{4\pi }{6}$

$x^2+6x+y^2=0\ \ \to \ \ r^2\, cos^2\varphi +6\, cos\varphi +r^2sin^2\varphi =0\ ,\ \ r^2+6r\, cos\varphi r=0\ ,\\\\r\, (r+6\, cos\varphi )=0\ \ ,\ \ r_1=0\ ,\ r_2=-6\, cos\varphi \\\\x^2+12x+y^2=0\ \ \to \ \ r=-12\, cos\varphi$

$\displaystyle S=\iint \limits_{D}dx\, dy=\int\limits^{\pi }_{\frac{4\pi }{6}}\, d\varphi \int\limits^{-12cos\varphi }_{-6cos\varphi }\, r\, dr=\int\limits^{\pi }_{\frac{4\pi }{6}}\, d\varphi \Big(\frac{r^2}{2}\Big|^{-12cos\varphi }_{-6cos\varphi }\Big)\, d\varphi =\\\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_{\frac{2\pi }{3}}\, (144cos^2\varphi -36cos^2\varphi )\, d\varphi =27\int\limits^{\pi }_{\frac{2\pi }{3}}\, (1+cos2\varphi )\, d\varphi =27\cdot (\varphi +\frac{1}{2}sin2\varphi )\Big|^{\pi }_\frac{2\pi}{3}}=$

$\displaystyle =27\cdot \Big(\pi +0-\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{-\sqrt3}{2}\Big)=27\cdot \Big(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{4}\Big)$