Question

Помогите с линейной алгеброй 10 баллов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a) СЛУ:

2x₁-2x₂+x₃-x₄=0

2x₁-3x₂+5x₃+4x₄=0

-2x₁+x₂+3x₃+6x₄=0

Решение методом Гаусса:

| 2 -2 1 -1 | 0 |  | 0 1 -4 -5 |0|  | 0 1  -4 -5 |0|  

| 2 -3 5 4 | 0 |=| 2 -3 5 4 |0|=| 0 -2 8 10 |0|=

| -2 1 3 6 | 0 |   | -2 1 3 6 |0|   | -2 1  3 6  |0|

 | 0  0 0 0 |0|

=| 0 -2 8 10 |0|

 | -2  1 3  6 |0|

-2x₂+8x₃+10x₄=0 |(-2)

x₂-4x₃-5x₄=0

x₂=4x₃+5x₄

-2x₁+x₂+3x₃+6x₄=0

-2x₁+4x₃+5x₄+3x₃+6x₄=0

-2x₁+7x₃+11x₄=0

-2x₁=-7x₃-11x₄

x₁=-(7x₃+11x₄)/(-2)=(7x₃+11x₄)/2=3,5x₃+5,5x₄

x₃, x₄ - свободные переменные

               | 3,5x₃+5,5x₄ |

Ответ: X=|   4x₃+5x₄     |

                |         x₃         |  

                |         x₄         |

b) СЛУ:

x₁+2x₂-5x₃+x₄+2x₅=-5

x₁+2x₂+7x₃-4x₄+x₅=11

x₁+2x₂+3x₃-2x₄+x₅=4

2x₁+4x₂+2x₃-2x₄+2x₅=1

Решение методом Гаусса:

| 1 2 -5 1 2 |-5|  | 0 0 12 -5 -1 |16| | 0 0 12 -5 -1 |16|

| 1 2 7 -4 1 | 11 |=| 1  2  7 -4  1 | 11|=| 0 0 -4 2 0 |-7|=

| 1 2 3 -2 1 | 4 |   | 1  2 3 -2  1 | 4|   | 1  2 3 -2 1 | 4 |

| 2 4 2 -2 2 | 1 |  | 2 4 2 -2  2 | 1|  | 2  4 2 -2 2 | 1 |

| 0 0 12 -5 -1 |16|

=| 0 0 -4 2 0 |-7|

 | 0 0 -4 2 0 |-7|

 | 2 4 2 -2 2 | 1 |

Получились в матрице две одинаковые строки. Так как они идентичны, то одну строку можно убрать.

| 0 0 12 -5 -1 |16 |

| 0 0 -4 2 0 |-7|

| 2 4 2 -2 2 | 1 |

Определим ранг матрицы основной системы A:

   | 0 0 12 -5 -1 |  | 2 4  2 -2 2 |  | 1  2  1  -1  1 |

A=| 0 0 -4  2 0 |=| 0 0 -4  2 0 |=| 0 0 -4 2  0 |=

    | 2 4  2 -2 2 |  | 0 0 12 -5 -1 | | 0 0 12 -5 -1 |

 | 1  2 1    -1   1 |   | 1 2 1 -1 1 |

=| 0 0 1   -1/2 0 |=| 0 0 1 -1/2 0 |

 | 0 0 12  -5  -1 |  | 0 0 0 1 -1 |

Получились три ненулевые строки. Следовательно, ранг A=3.

Теперь определим ранг матрицы расширенной системы B:

   | 0  0  12 -5 -1  16 |  | 2  4   2  -2   2   1 |

B=| 0  0  -4  2  0 - 7 |=| 0  0  -4   2   0  -7 |=

    | 2  4   2 -2  2   1  |  | 0  0  12  -5  -1  16 |

  | 1   2   1  -1    1  1/2 |  | 1   2   1    -1     1   1/2 |

= | 0  0  -4  2   0  -7 |=| 0  0    1   -1/2  0  7/4 |=

 | 0   0  12 -5  -1  16 |  | 0  0    12  -5   -1    16 |

 | 1   2  1   -1     1    1/2 |

=| 0  0  1  -1/2   0   7/4 |

 | 0  0  0    1    -1      5 |

Получились три ненулевые строки. Следовательно, ранг B=3.

rang(A)=rang(B) ⇒ данная система совместна.

12x₃-5x₄-x₅=16; 5x₄=12x₃-x₅-16; 10x₄=24x₃-2x₅-32

-4x₃+2x₄=-7; 2x₄=4x₃-7; 10x₄=20x₃-35

2x₁+4x₂+2x₃-2x₄+2x₅=1; 2x₄=2x₁+4x₂+2x₃+2x₅-1; 10x₄=10x₁+20x₂+10x₃+10x₅-5

24x₃-2x₅-32=20x₃-35; 4x₃-2x₅=-3; 2x₅=4x₃+3; x₅=2x₃+1,5

20x₃-35=10x₁+20x₂+10x₃+10x₅-5 |5

2x₃-6=2x₁+4x₂+4x₃+3; 2x₁=-4x₂-4x₃-3-6; x₁=-2x₂-2x₃-4,5

x₄=2x₃-3,5

x₂, x₃ - свободные переменные.

                | -2x₂-2x₃-4,5|

Ответ: X=|           x₂       |

                 |           x₃       |

                 |       2x₃-3,5   |

                 |       2x₃+1,5    |