Question

Помогите решить пример по теме интеграл метод замены, замена через t. Пример: $\int\limits {\frac{sin(x)dx}{\sqrt[3]{cos^2(x)} } }$. Ответ должен быть: $-3*\sqrt[3]{cos(x)} +c$

Answer 1

Ответ:

$-3 \cdot \sqrt[3]{\cos x}+C; \ C-const.$

Пошаговое объяснение:

$\int\ \dfrac{\sin x \ dx}{\sqrt[3]{\cos^{2}x}}=\int\ \dfrac{d(-\cos x)}{\sqrt[3]{\cos^{2}x}}=-\int\ \dfrac{d(\cos x)}{\sqrt[3]{\cos^{2}x}} \ ;$

Введём замену:

$t=\cos x \ ;$

$-\int\ \dfrac{dt}{\sqrt[3]{t^{2}}}=-\int\ \dfrac{dt}{t^{\tfrac{2}{3}}}= -\int\ t^{-\tfrac{2}{3}} dt=-\dfrac{t^{-\tfrac{2}{3}+1}}{-\dfrac{2}{3}+1}+C=-\dfrac{t^{\tfrac{1}{3}}}{\dfrac{1}{3}}+C=-3t^{\tfrac{1}{3}}+C;$

Вернёмся к замене:

$-3 \cdot (\cos x)^{\tfrac{1}{3}}+C=-3 \cdot \sqrt[3]{\cos x}+C; \ C-const;$