Question

Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) и перпендикулярную вектору (3,-5).

Задание 2. Объясните, как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, если известны их параметрические уравнения.

Задание 3. Объясните, как найти расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой
$\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+4}{3}$

Answer 1

Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) и перпендикулярную вектору (3,-5).

Координаты перпендикулярного вектора (3,-5) - это коэффициенты общего уравнения прямой: 3х - 5у + С = 0.

Подставим координаты точки .через которую проходит прямая.

3*1 - 5*2 + С = 0.

С = 10 - 3 = 7.

Ответ: уравнение 3х - 5у + 7 = 0.

Задание 2. Объясните, как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, если известны их параметрические уравнения.

Оно равно смешанному произведение векторов, делённому на

векторное произведение векторов.

Задание 3. Объясните, как найти расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой

(x-2)/1 = (y+3)/2  = (z+4)/3.

Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.

s = 1; 2; 3     - направляющий вектор прямой;

M1 = 2; -3; -4  - точка лежащая на прямой.

Тогда   M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =  

(2 - 1; -3 - 2; -4 - 3)   =   (1; -5; -7).  

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s =  

i j k

1 -5 -7

1 2 3    =

= i(-5·3 - (-7)·2)   - j(1·3 - (-7)·1)   + k (1·2 - (-5)·1)   =

= i(-15 + 14)   - j(3 + 7)   + k(2 + 5)   = (-1; -10; 7).

Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d =  |M0M1×s|    

           |s|

 =   √((-1)² + (-10)² + 7²)    

         √(1² + 2² + 3²)

 =   √150      

       √14

 =   √(75 /7)

 =  5√21      

         7

 ≈ 3.273268.