Question

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трех чисел быть равной 1020?

б) Может ли сумма трех чисел быть равной 1021?

в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число — трехзначное, а последнее равно 3?

Answer 1

а) Может, например: 1009 ; 10 ; 1

б ) Нет , потому что число и сумма его цифр имеют равные остатки при делении на 3, а значит, сумма этих трёх чисел должна быть кратна 3.

в ) Последнее равно 3, значит, 2 число равно 3, 12 или 21.

Цифры, сумма которых равна 3:

3 = 3+0+0 = 1+2+0 = 1+1+1

Из этих наборов можно сложить 6 чисел:

102, 111, 120, 201, 210, 300

Цифры, сумма которых равна 12:

12 = 0+3+9 = 0+4+8 = 0+5+7 = 0+6+6 = 1+2+9 = 1+3+8 = 1+4+7 = 1+5+6 =

= 2+2+8 = 2+3+7 = 2+4+6 = 2+5+5 = 3+3+6 = 3+4+5 = 4+4+4

Теперь считаем.

Из цифр 039, 048, 057 можно сложить по 4 числа. Всего 3*4 = 12 чисел.

Из 066 можно сложить 2 числа: 606 и 660.

Из 3 разных цифр можно сложить по 6 чисел. Всего 7*6 = 42 числа.

Из цифр 228, 255, 336 можно сложить по 3 числа. Всего 3*3 = 9 чисел.

Из цифр 444 можно сложить одно число.

Всего 12 + 2 + 42 + 9 + 1 = 66 троек.

Цифры, сумма которых равна 21:

21 = 3+9+9 = 4+8+9 = 5+7+9 = 5+8+8 = 6+6+9 = 6+7+8 = 7+7+7

Из цифр 399, 588 и 669 можно сложить по 3 числа. Всего 3*3 = 9 чисел.

Из 3 разных цифр можно сложить по 6 чисел. Всего 3*6 = 18 чисел.

Число 777 - только одно число.

Всего 9 + 18 + 1 = 28 троек.

Итого получается 6 + 66 + 28 = 100 троек.