Question

Найти производную функции:
y=(sqrt(x))^arcsin(x)

Answer 1

Задание. Найти производную функции $y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$

Решение. Задана функция вида $y = \left(f(x) \right)^{g(x)}.$

Для нахождения производной данной функции выполняют следующие этапы:

1. Прологарифмировать обе части данного равенства по основанию $e\colon$

$\ln y = \ln \left(\sqrt{x} \right)^{\arcsin x}.$

2. По свойству логарифмов $\log_{a}b^{p} = p\log_{a}b$ имеем:

$\ln y = \arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x} .$

3. Найти производную двух частей равенства по переменной $x \colon$

$(\ln y)' = (\arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x})'.$

3.1. Используя $(\ln u) = \dfrac{1}{u} \cdot u',$ имеем:

$(\ln y)' = \dfrac{1}{y} \cdot y' = \dfrac{y'}{y} .$

3.2. Используя правило $(u \cdot v)' = u'v + uv',$ имеем:

$(\arcsin x)' \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot (\ln \sqrt{x})'.$

3.2.1. Используя   $\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ и $(\ln u)' = \dfrac{1}{u} \cdot u',$ имеем:

$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})'.$

3.2.2. Используя $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$ имеем:

$\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .$

3.2.3. Упросим выражение и получаем:

$\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.$

3.3. Имеем:

$\dfrac{y'}{y} =\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.$

4. Умножим обе части равенства на $y \colon$

$y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot y.$

5. Поскольку из условия $y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x},$ то:

$y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$

Ответ: $y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$