Question

Прямая у=-4х+11 параллельна касательной к графику функции у=х^2+5x-6. Найдите абсциссу точки касания

Answer 1

Касательные — это прямые вида $y = kx + b,$ где $k$ и $b$ — некоторые числа.

Если прямые $y = k_{1}x+b_{1}$ и $y = k_{2}x+b_{2}$ параллельны, то $k_{1}=k_{2}.$

За коэффициент $k$ касательной отвечает производная $f'(x_{0})$ функции в точке с абсциссой $x_{0}.$

1. Найдем производную функции $y = x^{2} + 5x-6 \colon$

$y' = (x^{2} + 5x - 6)' = 2x + 5.$

2. Определим абсциссу точки касания.

2.1. Для прямой $y = -4x + 11$ коэффициент $k = -4.$

2.2. Для функции $y = x^{2} + 5x-6$ касательная в данной точке по геометрическому смыслу производной имеет угловой коэффициент $k = 2x_{0} + 5.$

2.3. Поскольку прямая $y = -4x + 11$ параллельна касательной к графику функции $y = x^{2} + 5x-6,$ то:

$2x_{0} + 5 = -4;$

$2x_{0} = -9;$

$x_{0} = -4,5.$

Таким образом, $x_{0} = -4,5$ — абсцисса точки касания к графику функции $y = x^{2} + 5x-6.$

Ответ: $x_{0} = -4,5.$