Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка, которое допускает понижение порядка.

Answer 1

Ответ:

$y''\, x\, lnx=y'\\\\y'=p(x)\ \ ,\ \ y''=p'(x)\\\\p'\, x\, lnx=p\ \ ,\ \ \ \displaystyle \frac{dp}{dx}=\frac{p}{x\, lnx}\ \ ,\ \ \int \frac{dp}{p}=\int \frac{dx}{x\, lnx}\ \ ,\\\\ln|p|=ln|lnx|+lnC_1\ \ ,\ \ p=C_1\, lnx\\\\\\{}\ \ p=y'=\frac{dy}{dx}=C_1\, lnx\ \ ,\ \ \ \int dy=C_1\int lnx\, dx\ \ ,\\\\y=C_1\int lnx\, dx=\Big[\ u=lnx\ ,\ du=\frac{dx}{x}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\=C_1\cdot \left(x\, lnx-\int x\cdot \frac{dx}{x}\right)=C_1\left(x\, lnx-\int dx\right)=C_1\, x\, lnx-C_1\, x+C_2$

$\boxed{\ y=C_1\, x\, lnx-C_1\, x+C_2\ }$