Question

Найдите сумму ряда
​

c4d7857d1351eef84d43fb9b23b3049d.docx

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{2}\sin2x$

Пошаговое объяснение:

Найти сумму ряда  $\sum\limits_{k=1}^\infty \sin\dfrac{x}{2^k}\cos\dfrac{3x}{2^k}$.

Заметим:

$\sin\dfrac{x}{2^k}\cos\dfrac{3x}{2^k}=\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(\dfrac{x}{2^k}-\dfrac{3x}{2^k}\right)+\sin\left(\dfrac{x}{2^k}+\dfrac{3x}{2^k}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin\dfrac{x}{2^{k-2}}-\sin\dfrac{x}{2^{k-1}}\right)$

Тогда частичная сумма имеет вид

$S_n=\dfrac{1}{2}\left(\sin\dfrac{x}{2^{-1}}-\sin\dfrac{x}{2^{0}}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\sin\dfrac{x}{2^{0}}-\sin\dfrac{x}{2^{1}}\right)+...+\dfrac{1}{2}\left(\sin\dfrac{x}{2^{n-2}}-\sin\dfrac{x}{2^{n-1}}\right)=\\ =\dfrac{1}{2}\left(\sin\dfrac{x}{2^{-1}}-\sin\dfrac{x}{2^{n-1}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin2x-\sin\dfrac{x}{2^{n-1}}\right)$

Значит, сумма ряда равна

$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{2}\left(\sin2x-\sin\dfrac{x}{2^{n-1}}\right)=\dfrac{1}{2}\sin2x$