Question

Найти угол между градиентами функций u и v в точке М0

Answer 1

ОТВЕТ: $\dfrac{2\pi}{3}$,  или $120\textdegree$.

Объяснение: Найдем частные производные 1-го порядка функции $v$:

$v'_x=\dfrac{3x^2}{\sqrt2}-0+0= \dfrac{3x^2}{\sqrt2};\\\\v'_y=0-\dfrac{3y^2}{\sqrt2}+0=- \dfrac{3y^2}{\sqrt2};\\\\v'_z=0-0+\dfrac{24z^2}{\sqrt3}=\dfrac{24z^2}{\sqrt3}.$

Градиент функции $v$:

$\nabla v=(v'_x; v'_y; v'_z)=(\dfrac{3x^2}{\sqrt2}; -\dfrac{3y^2}{\sqrt2}; \dfrac{24z^2}{\sqrt3});\\\\\nabla v|_{M_0}=(\dfrac{3\cdot2}{\sqrt2}; -\dfrac{3\cdot2}{\sqrt2}; \dfrac{24\cdot3}{4\sqrt3}) =(3\sqrt2; -3\sqrt2; 6\sqrt3).$

Аналогичным образом находим градиент функции $u$ в точке $M_o$:

$u'_x=\dfrac{2x}{y^2z^3};\\\\u'_y=\dfrac{-2x^2}{y^3z^3};\\\\u'_z= \dfrac{-3x^2}{y^2z^4};\\\\\nabla u=(u'_x; u'_y; u'_z)=(\dfrac{2x}{y^2z^3}; \dfrac{-2x^2}{y^3z^3};\dfrac{-3x^2}{y^2z^4});\\\\\nabla u|_{M_0}=(\dfrac{2\sqrt2\cdot2^3}{2\cdot3\sqrt3}; \dfrac{-2\cdot2\cdot2^3}{2\sqrt2\cdot3\sqrt3};\dfrac{-3\cdot2\cdot2^4}{2\cdot3^2})=(\dfrac{8\sqrt6}{9}; -\dfrac{8\sqrt6}{9}; -\dfrac{16}{3}).$

По определению скалярного произведения:

$\nabla v\cdot\nabla u=|\nabla v|\cdot|\nabla u|\cdot \cos\varphi\Rightarrow\\\\\Rightarrow \cos\varphi=\dfrac{\nabla v\cdot\nabla u}{|\nabla v|\cdot|\nabla u|}.$

Модули градиентов:

$|\nabla v|=\sqrt{(3\sqrt2)^2+(-3\sqrt2)^2+(6\sqrt3)^2}=\sqrt{18+18+108}=\sqrt{144}=12;\\\\|\nabla u|=\sqrt{(\dfrac{8\sqrt6}{9})^2+(-\dfrac{8\sqrt6}{9})^2+(-\dfrac{16}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{8^2\cdot6}{81} +\dfrac{8^2\cdot6}{81} +\dfrac{16^2}{9} }=\\\\=\sqrt{\dfrac{2^2\cdot3\cdot8^2+3^2\cdot16^2}{81}}=\dfrac{\sqrt{2^8\cdot3+2^8\cdot3^2}}{9}=\dfrac{2^4\sqrt{12}}{9}=\dfrac{16\sqrt{4\cdot3}}{9}=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}.$

Скалярное произведение градиентов:

$\nabla v\cdot \nabla u=3\sqrt2\cdot\dfrac{8\sqrt6}{9}+(-3\sqrt2)\cdot(-\dfrac{8\sqrt6}{9})-6\sqrt3\cdot\dfrac{16}{3}=2\cdot\dfrac{8\cdot\sqrt{12}}{3}-32\sqrt3=\dfrac{32\sqrt3}{3}-32\sqrt3=-\dfrac{64\sqrt3}{3}.$

Косинус искомого угла:

$\cos\varphi=\dfrac{-\dfrac{64\sqrt3}{3}}{12\cdot\dfrac{32\sqrt3}{9}} =-\dfrac{64\sqrt3}{3}:\dfrac{4\cdot32\sqrt3}{3}=-\dfrac{64\sqrt3}{3} \cdot\dfrac{3}{2\cdot64\sqrt3}=-\dfrac{1}{2}.$

Отсюда искомый угол:

$\varphi =\arccos(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{2\pi}{3}=120\textdegree.$