Предмет: Математика, автор: rakhmatulloh707

ПОМОГИТЕ СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛЛОВ​

Приложения:

rakhmatulloh707: ну? Кто-то решать будет?
Simba2017: должны вам ?
rakhmatulloh707: нет, не то чтобы должны
rakhmatulloh707: просто с 2ух аккаунтов запостил даю большую сумму 9 людей следят
rakhmatulloh707: но никто не отвечает
Simba2017: нет желания вам помогать с такими запросами вашими!
rakhmatulloh707: не будете отвечать, так не отвечайте никто вас не принуждает
Simba2017: и не собираюсь!

Ответы

Автор ответа: yugolovin
1

Первоначальное соображение. Если x_1=x_2=\ldots = x_{100}, т о для нахождения общего значения для всех иксов мы получаем уравнение

x^2+x-1=0;\ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} (мне показалось, или здесь пахнет золотым сечением?). Я постараюсь доказать, что других решений, кроме найденных двух, нет.

Рассмотрим функцию y=f(x)=\frac{1}{x}-1.  Из первого уравнения мы видим, что x_2=f(x_1), из второго - что x_3=f(x_2)=f(f(x_1)), \ldots , x_k=f(x_{k-1})=f(f(\ldots (f(x)))), \ldots

Когда перейдем к сотому  x, он будет получаться из первого 99-кратным применением функции, а последнее уравнение говорит о том, что первый икс выражается через первый икс 100-кратным применением функции. Докажем, что такое может быть только в двух случаях, которые уже были описаны выше, то есть когда f(x)=x.  Все Вы знаете график функции  f(x) - это стандартный школьный график гиперболы, опущенный на 1 вниз. Он  состоит из двух ветвей - двух участков убывания. Сразу отсекаем случай, когда x>1, поскольку в этом случае f(x)<0,  а тогда f(f(x))<0, и так далее, и мы к x никогда не вернемся. Не устраивает нас и x=1, так как f(1)=0, и мы не можем найти f(f(1)).

Пусть x>0 (но < 1) (кстати. x_0=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} лежит в этих пределах. Если x&lt;x_0, то в силу убывания функции f(x)&gt;f(x_0)=x_0, причем если f(x)>1, то на следующем этапе мы перескочим в отрицательные числа и в положительные никогда не вернемся. Также ничего хорошего не будет, если f(x)=1. Если же f(x)<1,  то f(f(x))&lt;f(x_0)=x_0. Повторяя рассуждения, мы видим, что или мы на некотором этапе получаем отрицательное число и из отрицательных чисел уже не выберемся,  или получим 1 и процесс на следующем этапе прекратится, или же мы будем перемещаться из положения  правее x_0 в положение левее x_0 , затем снова правее, и так далее. Если бы уравнений в нашей системе было бы нечетное число, мы бы уже сейчас кричали ура, поскольку начальное число и конечное были бы по разные стороны от x_0. Наша ситуация сложнее, но не является безнадежной. Давайте обозначим f(f(x))=g(x), тогда речь идет о том, чтобы 50-кратное применение функции g возвращало нас в первоначальную точку. Однако

g'(x)=\left(\frac{1}{\frac{1}{x}-1}-1\right)'=\left(\frac{2x-1}{1-x}\right)'=(-2+\frac{1}{1-x}\right)' =\frac{1}{(1-x)^2}.

Поскольку x лежит от нуля до 1, g'(x)>1, поэтому, используя теорему Лагранжа, мы можем утверждать, что |g(x)-x_0|=|g(x)-g(x_0)|&gt;|x-x_0|, то есть использование функции  g увеличивает расстояние до нулевого икса, что не позволяет через несколько этапов вернуться назад.

Пусть x<0, тогда применение функции f снова дает отрицательное число. Среди отрицательных чисел мы уже имеем решение

\bar x_0=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; f(\bar x_0)=\bar x_0. Снова рассматриваем функцию g(x)=f(f(x)), только на новом промежутке мы имеем 0<g'(x)<1. Это говорит то том, что

|g(x)-\bar x_0|=|g(x)-g(\bar x_0)|&lt;|x-\bar x_0|,   то есть теперь вернуться через 50 этапов в точку  x невозможно по причине уменьшения расстояния до \bar x_0.

Вывод. Система имеет два решения

x_1=x_2=\ldots =x_{100}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

и

x_1=x_2=\ldots =x_{100}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.  


yugolovin: Не пропечаталась скобка в строчке с вычислением производной. Какой-то сбой программы
Автор ответа: iosiffinikov
0

Xi*(1+Xi+1)=1

Xi+1=(1/Xi)-1

Xi+1-X1=(1/Xi)-1-Xi

Легко видеть Х100=Х1

Положим Xi+1-X1=0

Получаем  Х^2-X=1

X=0,5*(1+sqrt(5))  или X=0,5*(1-sqrt(5))

Если положить все Хi=Х получаем решение.


Simba2017: индексы нехорошо написаны...
yugolovin: А откуда следует, что x100=x1? Мне, чтобы доказать это, пришлось потрудиться))
Похожие вопросы