Question

написать три первых члена степенного ряда и НАЙТИ область его сходимости

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a(n) = 3^n / √(2^n*(3n+1)) * x^n

a1 = 3/√(2*4)*x = 3/√8*x

a2 = 9/√(4*7)*x^2 = 9/√28*x^2

a3 = 27/√(8*10)*x^3 = 27/√80*x^3

Область сходимости можно найти по признаку Даламбера

lim(n->oo) a(n+1)/a(n) < 1

Сначала найдем дробь.

a(n+1) / a(n) = [3^(n+1)/√(2^(n+1)*(3(n+1)+1)*x^(n+1)] / [3^n/√(2^n*(3n+1)*x^n] =

= 3^(n+1)/3^n * √(2^n/2^(n+1)) * √((3n+1)/(3n+4)) * x^(n+1)/x^n =

= 3*√(1/2)*√((3n+4)/(3n+1))*x

Теперь ищем предел

lim(n->oo) 3/√2*√((3n+4)/(3n+1))*x < 1

Заметим, что:

lim(n->oo) (3n+4)/(3n+1) = 1

Поэтому получается:

lim(n->oo) 3/√2*x < 1

3/√2*x < 1

x < √2/3

x € (-√2/3; √2/3)