Question

Пусть x,y,z - произвольные натуральные числа такие, что x+y+z=100 . Найти максимальное значение выражения. xy+yz+xz . 

Answer 1

$x+y+z=100\ xy+yz+xz=max$ 
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2\ x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2$
теперь так как 
$x^2+y^2 geq 2xy\ y^2+z^2 geq 2yz\ x^2+z^2 geq 2zx$
подставляя ее в уравнение 
$x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(x^2+z^2)=100^2\ 3(x^2+y^2+z^2)=100^2\ x^2+y^2+z^2=frac{100^2}{3}$
теперь найдем наше искомую величину  
 $xz+xy+yz=frac{100^2-frac{100^2}{3}}{2}\ xz+xy+yz=3333$ берем только целую  часть так как у нас числа натуральные !