Question

Решите задачу : Найти площадь криволинейной трапеции y= x^2+3 , если a= -1 , b=2
Прошу расписать подробно с рисунком

Answer 1

Вспомним формулу Ньютона-Лейбница, которая помогает посчитать площадь под графиком функции от $a$ до $b$:

                              $\displaystyle \int\limits^{b}_{a} {f(x)} \, dx = F(x) \;\; \Big|^{b}_{a} = F(b)-F(a)$

Первообразная от $f(x)=x^2+3$  -  это $F(x)=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{3x^{0+1}}{0+1}=\dfrac{x^3}{3}+3x$.

            $\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^{2}_{-1} {\Big(x^2+3\Big)} \, dx = \frac{x^3}{3} + 3x \;\; \Big|^{2}_{-1} = \\\\ = \bigg(\frac{2^3}{3}+3\cdot2 \bigg) - \bigg(\frac{(-1)^3}{3}+3\cdot(-1) \bigg) = \frac{8}{3} + 6 + \frac{1}{3}+3 = 12$

Значит, искомая площадь равна 12. Задача решена!

Ответ: 12