Question

50 баллов. Вычислить несобственный интеграл или доказать его сходимость

Answer 1

Ответ: I=π.

Пошаговое объяснение:

Так как x²+2*x+2=(x+1)²+1>0, то подынтегральная функция непрерывна при любых значениях x.

1) Находим первообразную: F(x)=∫dx/(x²+2*x+2)=∫d(x+1)/[(x+1)²+1]=arctg(x+1)+C, где C - произвольная постоянная.

2) Обозначим искомый интеграл через I. По формуле Ньютона-Лейбница, I=F(b)-F(a). Но F(b)=lim [arctg(x+1)+C] при x⇒∞, откуда F(b)=π/2+C. А F(a)=lim[arctg(x+1)+C] при x⇒-∞, откуда F(a)=-π/2+C. Отсюда I=π/2+C-(-π/2+C)=π.