Question

log5(3x+1)<2 система линейных уравнений.

Answer 1

Ответ:

$x\in(-\frac{1}{3};8)$ или $-\frac{1}{3}<x<8$.

Объяснение:

Дано неравенство:

$log_{5} (3x+1)<2$

По свойству логарифма, мы знаем, что аргумент логарифма $3x+1$ всегда должен быть больше нуля. Поэтому найдём область допустимых значений неравенства:

$3x+1>0\\3x>-1\\x>-\frac{1}{3}$

Теперь найдем множество решений нашего неравенства в виде системы с областью допустимых значений. Представим число 2 как логарифм с аргументом 5 по основанию 5:

$\left \{ {{3x+1>0} \atop {log_{5} (3x+1)<log_{5}5^2}} \right.$

$\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {log_{5} (3x+1)<log_{5}5^2}} \right.$

Для выражения $log_{a}(x)<b$ при $a>1$ равно $x<a^b$, поэтому наше неравенство имеем право представить в виде:

$\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {3x+1<5^2}} \right.\\\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {3x+1<25}} \right.$

Преобразуем:

$\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {3x<25-1}} \right.\\\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {3x<24}} \right.\\\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {x<\frac{24}{3}}} \right.\\\left \{ {{x>-\frac{1}{3}} \atop {x<8}} \right.$

Исходя из области допустимых значений и множества решений самого неравенства, получаем пересечение: $x\in(-\frac{1}{3};8)$ или $-\frac{1}{3}<x<8$.