Question

найти производную функции z=x^3+3x^2y+6xy+y^2 в точке (1;1) в направлении от этой точки к точке (2;2)

Answer 1

Ответ:

$z=x^3+3x^2y+6xy+y^2\ \ ,\ \ \ M_1(1;1)\ ,\ M_2(2;2)\\\\\\z'_{x}=3x^2+6xy+6y\ \ ,\ \ \ z'_{x}\Big|_{M_1}=3+6+6=15\\\\z'_{y}=3x^2+6x+2y\ \ ,\ \ \ z'_{y}\Big|_{M_1}=3+6+2=11\\\\\\\vec{l}=\overline{M_1M_2}=(1;1)\ \ ,\ \ |\overline{M_1M_2}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\\\\cos\alpha =\dfrac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \ cos\beta =\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\\\\dfrac{\partial z}{\partial \vec{l}}=z'_{x}\cdot cos\alpha +z'_{y}\cdot cos\beta$

$\dfrac{\partial z}{\partial \vec{l}}\Big|_{M_1}=15\cdot \dfrac{1}{\sqrt2}+11\cdot \dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{26}{\sqrt2}=13\sqrt2$