Question

Площадь треугольника образованной серединами медиан большого треугольника равна S. Чему равен площадь большого треугольника?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

SΔA₁B₁C₁=S

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников с площадями SΔABC/6

тогда площади треугольников SΔOAB=SΔOAC=SΔOBC=(1/3)SΔABC так как каждый из них состоит из двух таких треугольников

и медианы в точке пересечения делятся в отношении 1:2

пусть точка О- точка пересечения медиан

тогда получается что

OA=(2/3)AA₂

AA₁=(1/2)AA₂

OA₁=(2/3)AA₂-(1/2)AA₂=(1/6)AA₂

OA₁/OA=(1/6)AA₂/(2/3)AA₂=1/4

аналогичным образом

OB₁/OB=1/4

OC₁/OC=1/4

тогда  треугольники OA₁B₁, OA₁C₁, OB₁C₁ подобны треугольникам OAB, OAC, OBC с коэффициентом подобия 1/4

отношения площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия то есть (1/4)²=1/16

SΔOA₁B₁=(1/16)SΔOAB  

SΔOA₁C₁=(1/16)SΔOAC

SΔOB₁C₁=(1/16)SΔOBC

сложим эти равенства

SΔOA₁B₁+SΔOA₁C₁+SΔOB₁C₁=(1/16)(SΔOAB+SΔOAC+SΔOBC)

SΔA₁B₁C₁=(1/16)SΔABC

SΔABC=16SΔA₁B₁C₁=16S

SΔABC=16S