Предмет: Геометрия, автор: alexeyalexey111

Заранее всем спасибо огромное!

Приложения:

cos20093: То есть диагональ делит эти два отрезка в пропорциях (считая сверху на рисунке) левый 2:3 правый 4:3. Само собой, это все можно и без Менелая сосчитать. Возможно, есть и "красивое" решение с дополнительными построениями, где отрезки превращаются в медианы или как-то еще. Но вообще-то Менелай тут - естественный инструмент.

cos20093: "а площадь закрашенной части 1/6 от всего прямоугольника" тут просто описка - надо читать "площадь треугольника между отрезками". Ну там очевидно.

cos20093: Конечно же, в данном случае легко все считается без Менелая. Куда проще, чем с ним. Скажем, для левого отрезка, из подобия отношение (длин кусков, на которые левый отрезок делит диагональ прямоугольника) равно (считая от середины нижней стороны прямоугольника) (1/2)/(1/3) = 3/2; а для правого (1/2)/(2/3)=3/4; это тот же самый результат, но полученный моментально :) Образование иногда мешает :)))

cos20093: Хотя конечно, Менелай сам по себе доказывается элементарно (примерно из таких же соображений). Ясно, что когда нет параллельности, то "так просто" не решить. В данном случае так можно.

Аноним: Спасибо. Лучше бы решением, но и так ладно.

cos20093: А что-то не понятно? Смотрите, пусть прямоугольник ABCD по часовой стрелке. Середина AD - M, на стороне BC точки N и K, BN = NK=KC; MN и диагональ BD пересекаются в точке P, MK и BD - в точке Q; тогда из подобия тр-ков BNP и MPD MP/NP = MD/BN = (1/2)/(1/3)=3/2; =>MP/MN = 3/2; из подобия тр-ков BQK и MQD MQ/QK = MD/BK = (1/2)/(2/3)=3/4; => MQ/MK = 3/7;

cos20093: Опечатка, MP/MN = 3/5; Дальше все не просто. а очень просто. Есть такая простенькая формулка для площади тр-ка S = ab*sin(Ф)/2; Ф - угол между a и b. Если её применить к треугольникам, считая за Ф угол NMK, а потом поделить одно на другое, то S'/S = (MP/MN)*(MQ/MK) = 9/35; а площадь тр-ка MNK равна 1/6 площади прямоугольника. Всё.

cos20093: S'/S - отношение площадей тр-ков MPQ и MNK; уточняю, потому что в условии буквой S обозначена площадь всего прямоугольника. Если все собрать, S' = (9/35)*10/6 = 3/7; совпадение случайное, последнее число имеет размерность (площади, ту же, что и 10 из условия, например, 10 кв.см)

cos20093: И уж совсем "для красоты", S = ab*sin(Ф)/2; получается из обычной формулы площади S = ah/2 подстановкой h = b*sin(Ф); искомая площадь получается меньше 1/20 (и больше 1/25) площади прямоугольника.

Аноним: Ничего не ладно.