Question

Найти все целые значения k, при которых уравнение
coskx= 1+2cos^2((x/2)+(pi/4)) имеет решение. Найти эти решения.

Answer 1

$\cos kx=1+2\cos^2(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4});\ \cos kx=2+\cos(x+\frac{\pi}{2});\ \cos kx=2-\sin x\Leftrightarrow$

$\left \{ {{\sin x=1} \atop {\cos kx =1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {kx=2\pi m}} \right. .$

1-й случай. k=0; тогда второму уравнению удовлетворяют все x (при m=0), поэтому решениями первоначального уравнения будут $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ n\in Z.$

2-й случай. $k\not= 0;$ тогда $\left \{ {{x=\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {x=\frac{2\pi m}{k}}} \right.;$ поэтому нужно приравнять

$\frac{\pi}{2}+2\pi n=\frac{2\pi m}{k};\ k+4nk=4m;\Rightarrow k=4t; 4t+16nt=4m;\ t(1+4n)=m;$

Каково бы ни было целое $t\not= 0,$ и каково бы ни было целое n, существует целое m, вычисляемое по этой формуле. Вывод: k должно делиться на 4, а решением уравнения служат $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n; n\in Z.$