Question

Решить уравнение:
x⁸-x⁵+x²-x=0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$x^8-x^5+x^2-x=0\\x(x^7-x^4+x-1)=0\\x(x^4(x^3-1)+x-1)=0\\x(x^4(x-1)(x^2+x+1)+(x-1))=0\\x(x-1)(x^4(x^2+x+1)+1)=0,\;<=>\;x(x-1)=0\\.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[\begin{array}{c}x=0\\x=1\end{array}\right;$

Последний переход объясняется тем, что $x^4(x^2+x+1)+1\ge1$.

Уравнение решено!

Answer 2

$x(x^7-x^4+x-1)=0;\ x=0$ или $x^7-x^4+x-1=0;\ x^4(x^3-1)+(x-1)=0;$

$x^4(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)=0;\ (x-1)(x^6+x^5+x^4+1)=0;\ x-1=0$

или $x^6+x^5+x^4+1=0.$  Докажем, что это уравнение не имеет действительных корней.

Разберем несколько случаев. Если $x\ge 0,$ все слагаемые неотрицательны, а последнее строго положительно. Следовательно,  их сумма больше нуля. Если $x\le -1,$ $x^6\ge |x^5|,$ поэтому $x^6+x^5\ge 0,$ а поскольку $x^4+1>0,$ на этом промежутке также решений быть не может.  

Если $x\in (-1;0],$ $x^4>|x^5|,$ поэтому $x^5+x^4>0,$ а поскольку $x^6+1>0,$

и на этом промежутке решений нет.

Замечание. В принципе можно было бы рассуждать еще проще: x=0 и x=1  угадываются;  x = - 1 очевидно решением не является (при подстановке получается 4=0). Если x<0, то левая часть больше нуля. Если x>1, то $x^8>x^5;\ x^2>x,$ поэтому левая часть больше нуля.

Если 0<x<1, то $x^8<x^5;\ x^2<x,$ поэтому левая часть меньше нуля.

Ответ: 0;  1