Предмет: Алгебра, автор: vityamath

решите уравнение
$3x-cos2x=-x^5-1$

IUV: один из корней угадывается х=0

Ответы

Автор ответа: MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$3x-cos2x=-x^5-1\\x^5+3x+1-cos2x=0$

Пусть $f(x)=x^5+3x+1-cos2x$ .

Тогда $f'(x)=5x^4+3+2sin2x$ .

Заметим, что $5x^4+3\ge3$ при любом значении x. Так как $-1\le sin2x\le 1$ , то делаем вывод, что производна всегда будет положительна, то есть $f(x)$ монотонно возрастает. Тогда $f(x)=0$ если и имеет, то не более одного корня.

Предположим, что это $x=0$ .

Действительно:

$3\times0-cos(2\times0)=-0^5-1\\-1=-1$ , верно.

Тогда $x=0$ - это искомый корень.

Уравнение решено!

yugolovin: По поводу Вашего утверждения, что если f(x) монотонно возрастает, то уравнение f(x)=0 имеет ровно один корень. Примените его к функции f(x)=2^x.

MrSolution: Придираетесь к тому, что надо написать не что имеет, а что может иметь один корень?

MrSolution: Поправил на: Тогда f(x) если и имеет, то не более одного корня.

yugolovin: Я не придираюсь, я просто стремлюсь к идеальным ответам. И надо говорить не "может иметь один корень", а "не может иметь больше одного корня"

yugolovin: Так лучше)

Автор ответа: yugolovin

$3x-\cos 2x=-x^5-1;$ левая часть растет (если это кажется не вполне очевидным, посчитайте производную и убедитесь, что она всюду больше нуля); правая часть убывает (если это кажется не вполне очевидным, посчитайте производную и убедитесь, что она всюду меньше нуля (правда, при x=0 она равна нулю, но равенство производной нулю в одной точке не мешает функции оставаться монотонной)). Вывод: графики левой и правой части если где-то и пересекаются, то максимум в одной точке. Нам повезло, что эта точка легко угадывается - это точка с абсциссой 0.