Question

Окружности ω1 и ω2 касаются друг друга внешним образом. Их общие внешние касательные касаются ω1 в точках A и B, а ω2 — в точках D и C соответственно. Известно, что AB=8, CD=13. Чему равна длина отрезка BC?

Answer 1

Пусть AD и BC пересекаются в точке E.

Отрезки касательных из одной точки равны, EA=EB, ED=EC.

△AEB, △DEC - равнобедренные => EAB =90 -E/2 =EDC => AB||DC

ABCD - трапеция

MA=MK=MD, NB=NK=NC (отрезки касательных из одной точки)

MN - средняя линия трапеции ABCD

MN =(AB+CD)/2 =(8+13)/2 =10,5

NB=NK=NC => NK=BC/2

Центры лежат на биссектрисе угла E (т.к. окружности вписаны в угол).

Точка внешнего касания окружностей K лежит на линии центров, то есть на биссектрисе угла E.

MN||AB => △MEN~△AEB =>

△MEN - равнобедренный, EK - биссектриса  и медиана, NK=MN/2

BC =MN =10,5