Question

Натуральное число a таково, что оно является суммой трёх различных
простых чисел, а 7a является произведением тех же трёх простых чисел.
Найдите a.

Answer 1

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

Пусть a = p₁ + p₂ + p₃, 7a = p₁p₂p₃.

Рассмотрим второе равенство: левая часть делится на 7, значит, и правая часть также делится на 7. Правая часть состоит из произведения трёх различных простых чисел, значит, одно из этих чисел (пусть p₃) равно 7. Тогда 7a = 7p₁p₂ ⇔ a = p₁p₂. Тогда первое равенство выглядит так:

p₁p₂ = p₁ + p₂ + 7

p₁p₂ - p₁ - p₂ = 7

p₁p₂ - p₁ - p₂ + 1 = 8

p₁(p₂ - 1) - (p₂ - 1) = 8

(p₁ - 1)(p₂ - 1) = 8

Не теряя общности, положим p₁ < p₂.

1 случай: p₁ - 1 = 1, p₂ - 1 = 8 ⇔ p₁ = 2, p₂ = 9 — не подходит, числа должны быть простыми.

2 случай: p₁ - 1 = 2, p₂ - 1 = 4 ⇔ p₁ = 3, p₂ = 5 — подходит. В таком случае a = 3 + 5 + 7 = 15.

Случаи с отрицательными множителями не рассматриваем, так как в таком случае простые числа будут отрицательными.