Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ОБЪЯСНИТЕ Срочно,помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

x ∈ ( -4; 3.5-√(177/4)] ∪ [3.5+√(177/4); +∞)

Пошаговое объяснение:

log₀₅ log₈[(x²+x)/(x+4)] ≤0;

рассмотрим вначале выражение log₀₅ (f(x)) ≤0, (где f(x)= log₈[(x²+x)/(x+4)])

функция логарифма с основанием 1/2 - убывающая на всей области определения. Т.е.  log₀₅ (f(x))=0 при значении f(x)=1, и log₀₅ (f(x))>0 при значении f(x)<1. Следовательно можно записать:

f(x)≥0; log₈[(x²+x)/(x+4)]≥1;

а вот функция log₈[(x²+x)/(x+4)] возрастающая на всей своей области определения т.к. основание логарифма больше 1, поэтому:

(x²+x)/(x+4)]≥8¹;

(x²+x)/(x+4)]≥8;

Перед решением неравенства найдем интервалы допустимых значений переменной х.

1. Оба множителя положительные:

x+4≠0;  x≠ -4;

x+4>0;   x>-4;  x∈ (-4; +∞);

x²+x>0;  x(x+1)>0; x>0; x>-1;  x ∈ (-∞; -1)∪(0; +∞)

x∈(-4; +∞)  ∩ x∈ (-∞; -1)∪(0; +∞);  

x∈ (-4; -1)∪(0; +∞)

2. Оба множителя отрицательные:

x+4≠0;  x≠ -4;

x+4<0;   x<-4; x∈ (-∞; -4);

x²+x<0;  x(x+1)<0;  x∈( -1;0)

x∈ (-∞; -4) ∩ x∈( -1;0)

x∈∅.

интервалы допустимых значений переменной х: (-4; -1)∪(0; +∞).

Теперь решаем квадратичное неравенство:

(x²+x)/(x+4)]≥8;

(x²+x)/(x+4)-8≥0;          (x²+x-8x-32)/(x+4)≥0;    (x²-7x-32)/(x+4)≥0;  √D=√(49+4*32)=√177;

x₁₂=0.5(7±√177); x₁=3.5+√(177/4);  x₂=3.5-√(177/4);

x∈(-∞; 3.5-√(177/4)] ∪ [3.5+√(177/4); +∞);

Сравним этот промежуток с областью определения функции. Учтем, что √(177/4)≈6,7, следовательно 3,5-6,7≈ -3,15.

x∈(-∞; 3.5-√(177/4)] ∪ [3.5+√(177/4); +∞) ∩ x∈ (-4; -1)∪(0; +∞)

x ∈ ( -4; 3.5-√(177/4)] ∪ [3.5+√(177/4); +∞)