Question

Исследовать сходимость ряда

Answer 1

Ответ:

Сходится

Пошаговое объяснение:

$a_n=ln\dfrac{n^2+5}{n^2+4}=ln\left(1+\dfrac{1}{n^2+4}\right)$, $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^2+4}=0$.

Пусть $b_n=\dfrac{1}{n^2}$. При этом $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{n^2+4}{n^2+5}\cdot(\frac{-2n}{(n^2+4)^2})}{-\frac{2}{n^3}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^4}{(n^2+5)(n^2+4)}=1$.

Тогда, так как $\forall\;n\in N\;a_n>0,b_n>0$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ сходится, то, по предельному признаку сравнения, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ также сходится.