Question

Найти массу кривой L, если плотность кривой в каждой ее точке равна ординате этой точки

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{27}{32}-\dfrac{ln2}{2}-\dfrac{ln^22}{8}$

Пошаговое объяснение:

Так как вид уравнения кривой явный, масса вычисляется по формуле

$m=\int\limits_L \rho(x,y)*\sqrt{1+(y')^2}dl=\int\limits_1^2 \left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{lnx}{2}\right)*\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}\right)^2}dx=$

$=\int\limits_1^2 \left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{lnx}{2}\right)*\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right)^2}dx=\int\limits_1^2 \left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{lnx}{2}\right)*\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right)dx=$

$=\int\limits_1^2 \left(\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x}{8}-\dfrac{xlnx}{4}-\dfrac{lnx}{4x}\right)dx= \left(\dfrac{x^4}{32}+\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{x^2}{16}(2lnx-1)-\dfrac{ln^2x}{8}\right)\Big|_1^2=$

$= \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}(2ln2-1)-\dfrac{ln^22}{8}\right)-\left(\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{27}{32}-\dfrac{ln2}{2}-\dfrac{ln^22}{8}$