Question

Найти производную функции и вычислить значение производной в точке:

Answer 1

$f(x)=\dfrac{\lg(2x^{3}+1) }{x+2}\\\\f'(x)=\Big(\dfrac{\lg(2x^{3}+1) }{x+2}\Big)'=\dfrac{[\lg(2x^{3}+1)]' \cdot(x+2)-\lg(2x^{3}+1)\cdot(x+2)' }{(x+2)^{2} } =\\\\=\dfrac{\dfrac{1}{(2x^{3}+1)\cdot\ln10 }\cdot(2x^{3}+1)'\cdot(x+2)-\lg(2x^{3}+1)}{(x+2)^{2} }=\\\\=\dfrac{\dfrac{6x^{2} }{(2x^{3}+1)\cdot ln10}\cdot(x+2)-\lg(2x^{3} +1) }{(x+2)^{2} }=\dfrac{\dfrac{6x^{2}\cdot (x+2)}{(2x^{3}+1) ln10} -\lg(2x^{3}+1) }{(x+2)^{2} }$

$f'(0)=\dfrac{\dfrac{6\cdot 0^{2} \cdot(0+2)}{(2\cdot 0^{3} +1)}\cdot ln10-\lg(2\cdot 0^{3}+1)}{(0+2)^{2} }=\dfrac{ln10-\lg1}{4} =\boxed{\dfrac{ln10}{4}}$