Question

Решите дифференциальные уравнения и найдите частные
решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

Answer 1

Ответ:

$x \sqrt{1 + {y}^{2} } + y \sqrt{1 + {x}^{2} } y'= 0 \\ y \times \frac{dy}{dx} \sqrt{1 + {x}^{2} } = - x \sqrt{1 + {y}^{2} } \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } = - \int\limits \frac{xdx}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } \\ ln( |y + \sqrt{1 + {y}^{2} } | ) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } \\ ln( |y + \sqrt{1 + {y}^{2} } | ) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2} )}{ {(1 + {x}^{2} )}^{ \frac{1}{2} } } \\ ln( |y + \sqrt{1 + {y}^{2} } | ) = - \sqrt{1 + {x}^{2} } + C$

общее решение

$y(0) = 0$

$ln(0 + 1) = - 1 + C \\ C = 1$

$ln( |y + \sqrt{1 + {y}^{2} } | ) = 1 - \sqrt{1 + {x}^{2} }$

частное решение