Question

Найти общее решение дифференциального уравнения.

a) 9y'' + 6y' +y = 0

б) y'' - 4y' - 21y = 0

в) y'' + y = 0

Answer 1

Ответ:

Смотри решение

Объяснение:

1. Решаем 1 пример:

1.1. Запишем уравнение в исходном виде:

$9y"+6y'+y=0$

1.2. Запишем характеристическое уравнение:

9λ^2 + 6λ + 1 = 0

1.3. Решаем через дискриминант:

$a=9; b=6; c=1\\D=b^2-4ac\\D=6^2-4*9*1\\D=36-36=0\\\sqrt{D}=\sqrt{0}=0$

1.4. Находим корни уравнения:

λ_1 = λ_2 = $\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+0}{2*9}=\frac{-6}{18}=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}$

1.5. Общее решение данного уравнения имеет вид:

$Y_{obsch}=C_{1}e^{-\frac{1}{3}x}+C_{2}e^{-\frac{1}{3}x}$

2. Решаем 2 пример:

2.1. Запишем уравнение в исходном виде:

$y''-4y'-21y=0$

2.2. Запишем характеристическое уравнение:

λ^2 - 4λ - 21 = 0

2.3. Решаем через теорему Виетта:

λ_1 + λ_2 = 4

λ_1*λ_2=-21

2.4. Корни данного уравнения равняются:

λ_1 = 7

λ_2 = -3

2.5. Общее решение данного уравнения имеет вид:

$Y_{obsch}=C_{1}e^{7x}+C_{2}e^{-3x}$

3. Решаем 3 пример:

3.1. Запишем уравнение в исходном виде:

$y"+y=0$

3.2. Записываем характеристическое уравнение:

λ^2 + 1 = 0

3.3. Решаем уравнение, и получаем его корни:

λ^2 = -1

i = -1

λ_{1,2}=$\sqrt{i}$

λ_{1,2}=+/- 1

3.4. Общее решение данного уравнения имеет вид:

$Y_{obsch}=C_{1}cosx+ C_2sinx$