Question

Решите:
y''-3y''+2y=-4e^x

Answer 1

$y''-3y''+2y=-4e^x$

$-2y''+2y=-4e^x$

$y''-y=2e^x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''-y=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-1=0$

$\lambda^2=1$

$\lambda=\pm1$

Тогда, частное решение запишется в виде:

$Y=C_1e^x+C_2e^{-x}$

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде:

$\overline{y}=Axe^x$

Находим вторую производную:

$\overline{y}'=A(x'e^x+x(e^x)')=A(e^x+xe^x)$

$\overline{y}''=A((e^x)'+x'e^x+x(e^x)')=A(e^x+e^x+xe^x)=A(2e^x+xe^x)$

Подставляем в уравнение:

$A(2e^x+xe^x)-Axe^x=2e^x$

Разделим уравнение на экспоненту:

$A(2+x)-Ax=2$

$2A+Ax-Ax=2$

$2A=2$

$A=1$

То есть частное решение имеет вид:

$\overline{y}=xe^x$

Записываем общее решение исходного уравнения:

$y=Y+\overline{y}=C_1e^x+C_2e^{-x}+xe^x$