Question

решите систему неравенств в действительных числах

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Рассмотрим сначала вторую строку системы, так как с первой все предельно просто.

$\dfrac{x^8+x^6-4x^4+x^2+1}{x^8-x^5+x^2-x+1}>0$

Здесь видим, что в числителе и знаменателе дроби присутствует восьмая степень. И если в числителе хотя бы угадываются два корня (-1 и 1), то со знаменателем все гораздо хуже. Поэтому первым делом попробуем с ним что-нибудь сделать. Будем выполнять преобразования по шагам.

Шаг 1 | Представим $x^2$, как $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}$:

$x^8-x^5+x^2-x+1=x^8-x^5+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}-x+1$

Шаг 2 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:

$x^8-x^5+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}-x+1=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3x^2}{4}-x+1$

Шаг 3 | Вынесем $\dfrac{3}{4}$ за скобки:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3x^2}{4}-x+1=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{3}\right)$

Шаг 4 | Представим $\dfrac{4}{3}$, как $\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}$:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{3}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}\right)$

Шаг 5 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{9}\right)$

Шаг 6 (необязательный) | Раскроем скобки:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{9}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}$

Получили, что $x^8-x^5+x^2-x+1\ge\dfrac{2}{3}$.

Тогда исходной дроби равносильно:

$x^8+x^6-4x^4+x^2+1>0$

Откуда следует, что $x\in(-\infty;\;-1)\cup(-1;\;1)\cup(1;\;+\infty)$.

Первое неравенство системы можно решить, просто раскрыв скобки, приведя подобные и разложив на множители.

Тогда:

$(6x+5)(3x+2)(x+1)<28,\;<=>\;(3x-1)(6x^2+17x+18)<0,\;<=>\;3x-1<0\\x<\dfrac{1}{3}$

Найдем теперь пересечение:

$x\in(-\infty;\;-1)\cup\left(-1;\;\dfrac{1}{3}\right)$

Задание выполнено!