Question

Помогите найти ошибку

$\int\limits6^{sin(x)} dx \\\\t = sin(x)\\\\dt = d(sin(x) ) = (sin(x))`dx = cos(x)dx\\\\dt = cos(x)dx\\\\dx=\frac{dt}{cos(x)} \\\\\int\limits6^t*\frac{1}{cos(x)}*dt = \frac{1}{cos(x)}\int\limits6^tdt = sec(x)\int\limits6^tdt= sec(x)*\frac{6^t}{In(6)} = \frac{sec(x)6^{sin(x)}}{In(6)}$

При дифференцировании полученной первообразной я получил абсолютно другую функцию:

$(\frac{sec(x)6^{sin(x)}}{In(6)})` = \frac{1}{In(6)}(sec(x)6^{sin(x)})` = \frac{1}{In(6)}[(sec(x))`6^{sin(x)} + (6^{sin(x)})`sec(x)] =\\= \frac{1}{In(6)}[tg(x)sec(x)6^{sin(x)} + In(6)cos(x)6^{sin(x)}sec(x)] = \\\\ = \frac{1}{In(6)}[\frac{6^{sin(x)}sin(x) }{cos^2(x)} + In(6)6^{sin(x)}] = \frac{6^{sin(x)}sin(x) + In(6)6^{sin(x)}cos^2(x) }{In(6)cos^2(x)} = \\\\= \frac{6^{sin(x)}sin(x)}{In(6)cos^2(x)} + 6^{sin(x)}$

Вопрос: где я допустил ошибку во время интегрирования?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

У 6-му рядку   помилково винесено з-під знака інтеграла 1/cos(х).  А це зробити не можна ,  так як   х  залежить від  t і так само від  t залежить і  1/cos(х) .

Answer 2

Ответ:

Нельзя выносить   $\dfrac{1}{cosx}$   за знак интеграла, т.к. там содержится переменная "х" ... Надо было выразить "х" через "t" и найти dx :

$\displaystyle t=sinx\ \ \Rightarrow \ \ \ x=arcsint\ \ ,\ \ dx=\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\\\\\\int 6^{sinx}\, dx=\Big[\ t=sinx\ \Big]=\int \frac{6^{t}\cdot dt}{\sqrt{1-t^2}}$

$\star \ \ \displaystyle \int 6^{sinx}\, cosx\, dx=\Big[\ t=sinx\ ,\ dt=cosx\, dx\ \Big]=\int 6^{t}\, dt=\frac{6^{t}}{ln6}+C=\\\\\\=\frac{6^{sinx}}{ln6}+C\ \ \star$