Question

С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл​

Answer 1

Ответ:

$\pi \cdot\sinh1$

Пошаговое объяснение:

Пусть $D$ - область, ограниченная контуром $\Gamma$.

Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:

$z^2-4z+3=(z-1)(z-3)$

Заметим, что

1. $\sin iz$ аналитическая на всей комплексной области. Значит, она аналитическая и в области $D$, и на контуре $\Gamma$.
2. $z-3$ аналитическая на всей комплексной области. Значит, она аналитическая и в области $D$, и на контуре $\Gamma$.

Очевидно, в области $D$ функция $z-3$ в 0 не обращается ($|3|=3>2$) . Значит, функция $f(z)=\dfrac{\sin iz}{z-3}$ аналитическая и в области $D$, и на контуре $\Gamma$.

Подынтегральная функция представлена в виде

$\dfrac{f(z)}{z-1}$, при этом знаменатель имеет вид $z-a$, где $a=1$. При этом $|1|=1<2$, то есть $a\in D$.

Тогда, согласно интегральной формуле Коши,

$\oint\limits_\Gamma \dfrac{f(z)}{z-1} dz=2\pi i\cdot f(1)=2\pi i\cdot\dfrac{\sin i}{1-3}=\pi \cdot\sinh i$