Question

Найти решение задачи Коши

Answer 1

Ответ:

$y(x)=e^x(x+1)$

Пошаговое объяснение:

 Перенесем множитель (x+1) в левую часть

$\frac{y'}{x+1}-\frac{y}{(x+1)^2}=e^x$

 Приведем к общему знаменателю левую часть

$\frac{y'(x+1)-y}{(x+1)^2} =e^x$

 Заметим, что

$(\frac{y}{x+1} )'=\frac{y'(x+1)-y}{(x+1)^2}$

 Тогда

$(\frac{y}{x+1} )'=e^x$

 Откуда следует

$\frac{y}{x+1} =\int {e^x} \, dx$

 После интегрирования

$\frac{y}{x+1} =e^x+C$

$y=(x+1)(e^x+C)$

 Найдем значение константы интегрирования

$\left\begin{array}{c}y(0)=1\\y(0)=(0+1)(e^0+C)\end{array}\right\} \Longrightarrow 1+C=1 \Longrightarrow C=0$

 Окончательно

$y(x)=e^x(x+1)$