Question

Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени.

Задачник говорит, что правильный ответ
$R = 2(1+t^2)^{\frac{3}{2}$
но я не понимаю, откуда взять такую степень

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

x = 2·t

y = t²

_________

R - ?

1)

Находим проекции скоростей:

Vₓ = x' = (2·t)' = 2

Vy = y' = (t²)' = 2·t

Тогда:

V = √ (Vₓ² + Vy²) = √ (2² + (2·t)²) = √ (4 + 4·t²) = 2·√(1 + t²)

Тангенциальное ускорение:

aτ = (V)' = (2·√(1 + t²))' = 2·t / √(1+t²)

2)

Находим полное ускорение:

aₓ = (Vₓ)' = (2)' = 0

ay = (Vy)' = (2·t)' = 2

a = √ (ax² + ay²) = √ (0² + 2²) = 2

3)

Нормальное ускорение:

aₙ = √ (a² - aτ²) = √ ( 4 - 4·t² /(1 + t²))

4)

Радиус кривизны:

R = V² / aₙ = (2·√(1 + t²))² / √ ( 4 - 4·t² /(1 + t²)) =

= 4·(1+t²) ·√ (1+t²) / 2 = 2·(1+t²) √(1+ t²) = 2 · (1 + t²)^(3/2)