Question

Решить дифференциальное уравнение y" + 2y' + y = (e^-x)/(x sqrt(x))​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y'' + 2y' + y = \frac{e^{-x}}{x\sqrt{x} }$

$y'' + 2y' + y = x^{-3/2}e^{-x}$

Характеристическое уравнение:

k^2 + 2k + 1 = 0

k1 = k2 = -1

y0 = (C1 + C2*x)*e^{-x}

В правой части стоит e^{-x}, и при этом -1 - корень характеристического уравнения, да еще и кратный (двойной). Поэтому частное решение:

$y^*=x^2*Ax^{-3/2}*e^{-x}=A\sqrt{x} *e^{-x}$

Решаем неоднородное уравнение

$(y^*)'=A(\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x} } -\sqrt{x} *e^{-x})=Ae^{-x}(\frac{1}{2\sqrt{x}} -\sqrt{x} )=Ae^{-x}*\frac{1-2x}{2\sqrt{x} }$

$(y^*)''=A(-e^{-x}*\frac{1-2x}{2\sqrt{x} } +e^{-x}*\frac{-2*2\sqrt{x} -(1-2x)*2/(2\sqrt{x} )}{4x} )=\\ =Ae^{-x}\frac{-(1-2x)*2x-4\sqrt{x} *\sqrt{x} -(1-2x)}{4x\sqrt{x} } =Ae^{-x}\frac{-2x+4x^2-4x -1+2x}{4x\sqrt{x} }=Ae^{-x}*\frac{4x^2-4x -1}{4x\sqrt{x} }$

Подставляем в уравнение:

$Ae^{-x}*\frac{4x^2-4x-1}{4x\sqrt{x} } +2Ae^{-x}*\frac{1-2x}{2\sqrt{x} } +Ae^{-x}*\sqrt{x} =\frac{e^{-x}}{x\sqrt{x} }$

Сокращаем e^(-x) и приводим к общему знаменателю 4x√x:

$A*\frac{4x^2-4x-1}{4x\sqrt{x} } +2A*\frac{(1-2x)*2x}{4x\sqrt{x} } +A*\frac{4x^2}{4x\sqrt{x} }=\frac{4}{4x\sqrt{x} }$

Избавляемся от знаменателя:

A(4x^2 - 4x - 1) + 2A(2x - 4x^2) + 4Ax^2 = 4

4Ax^2 - 4Ax - A + 4Ax - 8Ax^2 + 4Ax^2 = 4

-A = 4

A = -4

y* = -4√x*e^(-x)

В итоге

y = y0 + y* = (C1 + C2*x)*e^{-x} -4√x*e^(-x) = (C1 + C2*x - 4√x)*e^(-x)