матеша 100 балов
7. Мамины бусы состоят из 10 красных и 10 синих бусин в каком-то порядке.
Докажите, что в бусах есть 10 подряд бусин, среди которых поровну синих и
красных.
8. В других маминых бусах есть черные и белые бусины, причем и тех, и других
- четное количество. Обязательно ли эти бусы можно разрезать так, что в
каждой части будет ровно половина черных бусин и ровно половина белых?
9. В ряд сидят 15 мальчиков и 15 девочек. ( a ) Всегда ли из них можно выбрать
10 школьников подряд, чтобы среди них мальчиков и девочек было поровну?
( b ) Всегда ли из них можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых
мальчиков и девочек поровну?
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение: Занумеруем бусины слева направо натуральными числами от 1 до 20. Для каждых десяти сапог с номерами n, n + 1, …, n + 9 рассмотрим величину dn – разность между количествами красных бусин и синих бусин среди этих десяти. Заметим, что d1 + d11 – это разность между количеством синих и красных среди всех двадцати бусин, поэтому d1 + d11 = 0. Следовательно, либо d1 = d11 = 0, либо d1 и d11 – противоположные числа разных знаков.
В первом случае можно выбрать первые 10 бусин (слева или справа) и утверждение задачи будет выполнено.
Во втором случае рассмотрим два произвольных соседних члена последовательности {dn}: dn и dn + 1. При вычислении значения dn + 1 мы, по сравнению с вычислением dn, не учитываем n-ую бусину, но учитываем (n + 10)-ую. Если обе эти бусины – красные, либо если они обе – синие, то dn = dn + 1. Если же одна из этих бусин красная, а другая синяя, то dn отличается от dn + 1 на 2 (в большую или в меньшую сторону). Кроме того заметим, что среди десяти бусин либо четное количество как красных, так и синих, либо нечетное. Поэтому их разность dn – всегда число четное.
Рассмотрим теперь целочисленную последовательность {dn/2}, её соседние члены отличаются на более, чем на 1, а
d1/2 и d11/2 имеют разные знаки. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, найдется член
dk/2 равный нулю (1 < k < 11). Тогда и dk = 0, то есть условию задачи удовлетворяют 10 бусин, начиная с бусины с номером k.