Question

Решите пожалуйста дифференциальное уравнение

(x-y)dx+xdy=0

Answer 1

Ответ:

$(x-y)\, dx+x\, dy=0\ \ \Rightarrow \ \ \ (x-y)\, dx=-x\, dy\ \ ,\\\\\\\dfrac{x-y}{-x}=\dfrac{dy}{dx}\ \ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+x\\\\\\u'x+u=\dfrac{x-ux}{-x}\ \ \ ,\ \ \ u'x+u=\dfrac{1-u}{-1}\ \ ,\ \ \ u'x=u-1-u\ \ ,\\\\\\u'x=-1\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{x}\ \ ,\ \ \ \int du=-\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\u=-ln|x|-C\ \ ,\ \ \ \dfrac{y}{x}=-ln|x|-C\ \ ,\ \ \ \boxed{\ y=-x\, \Big(ln|x|+C\Big)\ }$