Question

решите
$e^x=x^e$

Answer 1

$e^x=x^e.$

ОДЗ: $x\ge 0.$

Очевидно, x=0 решением не является. Угадываем решение x=e (проверка: $e^e=e^e$ - верно). Докажем, что других решений нет. Прологарифмировав данное уравнение при x>0 (по основанию e), получаем равносильное уравнение

$x=e\ln x.$

Рассмотрим функцию $y=e\ln x-x;$ ее производная $y'=\frac{e}{x}-1=\frac{e-x}{x}$ обращается в ноль при x=e, больше нуля при x<e и меньше нуля при x>e.

Поэтому при x=e функция достигает наибольшего значения (равного нулю). Поэтому наше уравнение не может иметь другого решения, отличного от x=e.

Ответ:  e