Question

При каком значении с вектора являются взаимно перпендикулярными а(с, 4,-11), В(19,с, -4)​

Answer 1

Дано: $\vec{a} (c; ~ 4; \ -11), ~ \vec{b}(19; ~ c; \ -4), ~ \vec{a} \perp \vec{b}.$

Найти: $c - ?$

Решение. Условие перпендикулярности векторов: вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ равно нулю.

Скалярное произведение  векторов $\vec{a}(a_{1}; ~ a_{2}; ~ a_{3})$ и $\vec{b}(b_{1}; ~ b_{2}; ~ b_{3})$ находится по таким формулам:

$1) ~ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b} | \cdot \cos \varphi;$

$2) ~ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}.$

Условие перпендикулярности следует из первой формулы, поскольку косинус 90° равен нулю, а значит всё произведение будет равно нулю.

Воспользуемся 2-й формулой. Имеем:

$0 = c \cdot 19 + 4 \cdot c + (-11) \cdot (-4);$

$0 = 19c + 4c + 44;$

$-44 = 23c;$

$c = -\dfrac{44}{23}.$

Таким образом, при $c = -\dfrac{44}{23}$ вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут взаимно перпендикулярными.

Ответ: $c = -\dfrac{44}{23}.$