Question

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.

Answer 1

Ответ:

$y''+y'=3\, cosx-sinx\ \ ,\ \ \ y(0)=0\ ,\ y'(0)=1\\\\a)\ \ k^2+k=0\ \ ,\ \ k(k+1)=0\ \ ,\ \ k_1=0\ ,\ k_2=-1\ \ ,\\\\y_{oo}=C_1+C_2e^{-x}\\\\b)\ \ f(x)=3\, cosx-sinx\ \ ,\ \ \ 0+i\ne 0\ne -1\ \ ,\ \ r=0\\\\\widetilde{y}=A\, cosx+Bsinx\\\\\widetilde{y}'=-Asinx+Bcosx\\\\\widetilde{y}''=-Acosx-B\, sinx\\\\\widetilde{y}''+\widetilde{y}'=(-A+B)\, cosx+(-B-A)\, sinx=3cosx-sinx$

$\left\{\begin{array}{l}-A+B=3\\-A-B=-1\end{array}\right\ \ominus \ \left\{\begin{array}{l}2B=4\\A=1-B\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}B=2\\A=-1\end{array}\right\\\\\\\widetilde{y}=-cosx+2sinx\\\\c)\ \ \underline{\ y=y_{oo}+\widetilde{y}=C_1+C_2e^{-x}-cosx+2sinx\ }$

$d)\ \ y(0)=0=C_1+C_2-cos0+2sin0=C_1+C_2-1\ \ ,\ \ \ C_1+C_2=1\\\\y'(x)=-C_2e^{-x}+sinx+2cosx\\\\y'(0)=1=C_2+sin0+2cos0=C_2+2\ \ ,\ \ \ C_2=-1\\\\C_1=1-C_2=1+1=2\\\\\underline{\ y_{chastn.}=2_e^{-x}-cosx+2sinx\ }$