Question

6y''+7y'=5x+3
решите пожалуйста, очень надо

Answer 1

$6y''+7y'=5x+3$

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

$6y''+7y'=0$

В свою очередь составим и решим характеристическое уравнение:

$6\lambda^2+7\lambda=0$

$\lambda_1=0;\ \lambda_2=-\dfrac{7}{6}$

Тогда общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^{0x}+C_2e^{-\frac{7}{6}x }=C_1+C_2e^{-\frac{7}{6}x }$

Найдем частное решение данного неоднородного уравнения в виде:

$\overline{y}=(Ax+B)x=Ax^2+Bx$

Найдем производные:

$\overline{y}'=2Ax+B$

$\overline{y}''=2A$

Подставим в уравнение и получим:

$6\cdot2A+7\cdot(2Ax+B)=5x+3$

$12A+14Ax+7B=5x+3$

$14Ax+(12A+7B)=5x+3$

Получаем систему:

$\left \{ {{14A=5} \atop {12A+7B=3}} \right.$

Из первого уравнения:

$A=\dfrac{5}{14}$

Подставим полученное значение во второе уравнение:

$12\cdot\dfrac{5}{14} +7B=3$

$\dfrac{30}{7} +7B=3$

$7B=-\dfrac{9}{7}$

$B=-\dfrac{9}{49}$

Тогда частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид:

$\overline{y}=\dfrac{5}{14} x^2-\dfrac{9}{49} x$

Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решение неоднородного уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$y=C_1+C_2e^{-\frac{7}{6}x }+\dfrac{5}{14} x^2-\dfrac{9}{49} x$